Bayes’ Theorem, dinamai sesuai nama matematikawan Inggris abad ke-18 Thomas Bayes, adalah rumus matematika untuk menentukan probabilitas bersyarat. Probabilitas bersyarat adalah kemungkinan terjadinya suatu hasil, berdasarkan hasil sebelumnya yang telah terjadi dalam situasi yang sama. Bayes’ Theorem menyediakan cara untuk merevisi prediksi atau teori yang sudah ada (memperbarui probabilitas) dengan adanya bukti baru atau tambahan. Dalam bidang keuangan, Bayes’ Theorem dapat digunakan untuk menilai risiko meminjamkan uang kepada calon peminjam. Teorema ini juga disebut Aturan Bayes atau Hukum Bayes dan merupakan dasar dari bidang statistik Bayesian.
Memahami Bayes’ Theorem
Aplikasi Bayes’ Theorem sangat luas dan tidak terbatas pada bidang keuangan. Sebagai contoh, Bayes’ Theorem dapat digunakan untuk menentukan keakuratan hasil tes medis dengan mempertimbangkan seberapa besar kemungkinan seseorang mengidap suatu penyakit dan keakuratan tes secara umum. Bayes’ Theorem bergantung pada penggabungan distribusi probabilitas sebelumnya untuk menghasilkan probabilitas posterior. Probabilitas sebelumnya, dalam inferensi statistik Bayesian, adalah probabilitas suatu peristiwa yang terjadi sebelum data baru dikumpulkan. Dengan kata lain, probabilitas prior merupakan penilaian rasional terbaik atas probabilitas hasil tertentu berdasarkan pengetahuan saat ini sebelum eksperimen dilakukan. Probabilitas posterior adalah probabilitas yang direvisi dari suatu peristiwa yang terjadi setelah mempertimbangkan informasi baru. Probabilitas posterior dihitung dengan memperbarui probabilitas sebelumnya menggunakan Bayes’ Theorem. Dalam istilah statistik, probabilitas posterior adalah probabilitas kejadian A yang terjadi mengingat kejadian B telah terjadi.
Pertimbangan Khusus
Bayes’ Theorem memberikan probabilitas suatu kejadian berdasarkan informasi baru yang mungkin terkait dengan kejadian tersebut. Rumus ini juga dapat digunakan untuk menentukan bagaimana probabilitas terjadinya suatu peristiwa dapat dipengaruhi oleh informasi baru yang bersifat hipotesis, seandainya informasi baru tersebut ternyata benar.
Sebagai contoh, pertimbangkan untuk mengambil satu kartu dari setumpuk kartu yang terdiri dari 52 kartu.
Ada empat kartu raja di dalam dek, sehingga probabilitas bahwa kartu tersebut adalah kartu raja adalah empat dibagi 52, yang sama dengan 1/13 atau sekitar 7,69%. Sekarang, anggaplah kartu yang terpilih adalah kartu wajah. Probabilitas kartu yang terpilih adalah raja, karena kartu tersebut adalah kartu wajah, adalah empat dibagi 12, atau sekitar 33,3%, karena ada 12 kartu wajah di dalam dek.
Contoh Bayes’ Theorem
Di bawah ini adalah dua contoh Bayes’ Theorem, di mana contoh pertama menunjukkan bagaimana rumus ini dapat diturunkan dalam contoh investasi saham menggunakan Amazon.com Inc (AMZN). Contoh kedua menerapkan Bayes’ Theorem pada pengujian obat farmasi.
Menurunkan Rumus Bayes’ Theorem
Bayes’ Theorem diturunkan secara sederhana dari aksioma probabilitas bersyarat, yaitu probabilitas suatu peristiwa yang terjadi jika peristiwa lain terjadi. Sebagai contoh, pertanyaan probabilitas sederhana mungkin bertanya: “Berapa probabilitas harga saham Amazon.com turun?” Probabilitas bersyarat membawa pertanyaan ini selangkah lebih maju dengan bertanya: “Berapa probabilitas harga saham AMZN turun jika indeks Dow Jones Industrial Average (DJIA) turun sebelumnya?”
Probabilitas bersyarat dari A yang diberikan bahwa B telah terjadi dapat dinyatakan sebagai:
Jika A adalah: “Harga AMZN turun” maka P(AMZN) adalah probabilitas AMZN turun; dan B adalah: “DJIA sudah turun,” dan P(DJIA) adalah probabilitas bahwa DJIA turun; maka ekspresi probabilitas bersyaratnya berbunyi “probabilitas bahwa AMZN turun jika terjadi penurunan DJIA sama dengan probabilitas bahwa harga AMZN turun dan DJIA turun atas probabilitas penurunan indeks DJIA.
P(AMZN|DJIA) = P(AMZN dan DJIA) / P(DJIA)
P(AMZN dan DJIA) adalah probabilitas terjadinya A dan B. Ini juga sama dengan probabilitas terjadinya A dikalikan dengan probabilitas terjadinya B jika A terjadi, yang dinyatakan sebagai P(AMZN) x P(DJIA|AMZN). Fakta bahwa kedua ekspresi ini sama mengarah pada Bayes’ Theorem, yang dituliskan sebagai:
jika, P(AMZN dan DJIA) = P(AMZN) x P(DJIA|AMZN) = P(DJIA) x P(AMZN|DJIA)
maka, P(AMZN|DJIA) = [P(AMZN) x P(DJIA|AMZN)] / P(DJIA).
Di mana P(AMZN) dan P(DJIA) adalah probabilitas penurunan Amazon dan Dow Jones, tanpa memperhatikan satu sama lain.
Rumus tersebut menjelaskan hubungan antara probabilitas hipotesis sebelum melihat bukti P(AMZN), dan probabilitas hipotesis setelah mendapatkan bukti P(AMZN|DJIA), dengan memberikan hipotesis untuk Amazon dengan bukti di Dow.
Contoh Numerik dari Bayes’ Theorem
Sebagai contoh numerik, bayangkan ada sebuah tes narkoba yang 98% akurat, artinya 98% dari waktu, tes tersebut menunjukkan hasil positif yang benar untuk seseorang yang menggunakan narkoba, dan 98% dari waktu, tes tersebut menunjukkan hasil negatif yang benar untuk non-pengguna narkoba.
Selanjutnya, asumsikan 0,5% orang menggunakan narkoba. Jika seseorang yang dipilih secara acak dinyatakan positif menggunakan narkoba, perhitungan berikut dapat dilakukan untuk menentukan probabilitas bahwa orang tersebut benar-benar pengguna narkoba.
(0.98 x 0.005) / [(0.98 x 0.005) + ((1 – 0.98) x (1 – 0.005))] = 0.0049 / (0.0049 + 0.0199) = 19.76
Bayes’ Theorem menunjukkan bahwa meskipun seseorang dites positif dalam skenario ini, ada sekitar 80% kemungkinan orang tersebut tidak menggunakan obat tersebut.
Kesimpulan
Secara sederhana, Bayes’ Theorem mengambil hasil tes dan menghubungkannya dengan probabilitas bersyarat dari hasil tes tersebut dengan kejadian terkait lainnya. Untuk hasil positif palsu dengan probabilitas tinggi, Teorema ini memberikan kemungkinan yang lebih beralasan untuk hasil tertentu.
